哈密顿量和正则方程

哈密顿量是什么，为什么要有哈密顿量？
哈密顿量是拉格朗日量的勒让德变换：

拉格朗日量 $L(q_j,\dot{q}_j,t)$ 是在广义坐标 $\{ q_j|j=1,...,N \}$ 和广义速度 $\{ \dot{q}_j|j=1,...,N \}$ 空间对系统能量的表述，适用拉格朗日量表述的力学系统称为拉格朗日系统，可用拉格朗日方程组对系统状态进行求解。
哈密顿量 $H(q_j,p_j,t)$ 是在广义坐标 $\{ q_j|j=1,...,N \}$ 和广义动量 $\{ p_j|j=1,...,N \}$ 空间对系统能量的表述，使用哈密顿量表述的力学系统称为哈密顿系统，可用哈密顿正则方程对系统状态进行求解。

哈密顿量存在的意义是用广义动量（也称为共轭动量）作为变量取代广义速度（ $p_j=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}}$ ），这样就能处理特定的复杂系统，例如使用概率波函数描述粒子状态的量子系统。
什么是勒让德变换，为什么哈密顿量是拉格朗日量的勒让德变换？
勒让德变换是一种在不改变系统状态和细节的前提下，替换变量元的数学换元法。以单变量函数为例，函数 $f$ 在 $x_0$ 处斜率为 $f'(x_0)$ ，那么对应存在经过该处的切线与 $y$ 轴（ $x=0$ ）相交的截距 $g$ ， $f$ 和 $g$ 存在一一映射关系。在这种映射之后，原本的变量由 $x$ 变换成了斜率 $\frac{\partial f}{\partial x}$ ，根据斜率和该点的位置信息可以获取截距信息 $g$ 。

拉格朗日量是对系统能量状态的表述，在对系统进行分析时，需要经常进行全微分操作：

令 $H=\sum_i\dot{q}_ip_i-L(q_i,\dot{q}_i,t)$ ，则 $dH=\sum_i\dot{q}_idp_i$

对 $H$ 做全微分：

代入哈密顿方程组 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right)=\frac{\partial L}{\partial q_j}\Rightarrow \dot{p}_j=\frac{\partial L}{\partial q_j}$ 和广义动量的定义 $p_j=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_j}$

得到哈密顿正则方程
为什么要用勒让德变换将拉格朗日量转变为哈密顿量？
假定存在映射关系 $y=y(x)$ ，但该关系无法用显式表达，我们只知道x和y一一对应的值，这在实际的运算和分析当中将非常不便。利用勒让德变换将x和y的关系转换为无数个切点切线的组合，将无法用显式表达的关系切割成无数个线性关系的叠加，既简化了映射关系的表述，又保留了映射关系的细节，体现了物理中变换不能改变事物发展细节的思想。

根据前面的内容，可以看到哈密顿正则方程组是一阶微分方程，比拉格朗日方程组更容易求解（后者二阶）。通过勒让德变换，引进动量维度，使得系统的运动方程更加简洁清晰。