分析力学和变分法

分析力学

约束及其分类

基本概念：

• 力学体系：$n$个相互作用质点的集合；

• 力学体系的位形：力学系统的位置状态；

• 自由度：描述该系统的坐标的独立变分数；

• 约束：在力学系统中，限制质点自由运动的条件。

约束的概念：

• 几何约束：仅包含位置和时间的形式（$f(x_1,x_2,\cdot\cdot\cdot,x_n,t)=0$），不包含$\dot{x_i}$项，描述了空间中受路径限制的区域；

• 运动约束：表达式包含$\dot{x_i}$项，不能表示为仅包含位置和时间的形式，限制了系统运动的速度；

• 完整/非完整约束：某些运动约束可以积分消掉$\dot{x_i}$项，变换成几何约束，把这种运动约束和所有的几何约束成为完整约束，不能变换成几何约束的运动约束为非完整约束；

  • 对于完整系统，独立坐标数（最小广义坐标数）$=$独立变分数（自由度）
  • 对于非完整系统，独立坐标数$\neq$独立变分数，最小广义坐标数大于自由度

• 定常/非定常约束：表达式中不显含时间$t$的约束为定常约束，显含时间的约束为非定常约束。

广义坐标

力学体系里非笛卡尔坐标的参数坐标，能够唯一确定质点系位形的参数。

分析系统时的准备工作

1. 先定义描述其位形所需要的广义坐标
2. 写出广义坐标所对应的约束
3. 判断约束的类型，确定系统独立坐标数和自由度
4. 利用广义坐标进行动力学计算

泛函和变分概念简介

• 泛函是函数的函数。

  

• 函数的微分是自变量值的无穷小变化引起函数值的变化；泛函的变分是自变量函数的无穷小形变引起泛函值的变化。

  

• 函数的变形。
  
  在作为自变量的函数上加一个任意函数$\eta (x)$，再在前面乘上一个无穷小的系数$m$，此时导致泛函$J(y)$变化的$\delta y=m\eta (x)$类比导致函数变化的$dx$，由$\delta y$引起泛函$J(y)$的变化$\delta J=J(y+\delta y)-J(y)$为泛函$J$的变分。

泛函导数和微分

给定表示（连续/平滑）函数$\rho$（具有某些边界条件）的流形(高维空间几何结构，二维空间曲线/三维空间曲面在更高维空间推广)$M$，则一个泛函可以定义为

$F:M\rightarrow \mathbb{R} \quad\text{or}\quad F:M\rightarrow \mathbb{C}$

$F[\rho]$的泛函导数表示为$\delta F/\delta \rho$，定义为：

其中$\phi$是一个任意函数，$\epsilon\phi$为$\rho$的变分（无穷小形变）。

泛函$F[\rho]$的微分（或变分或一阶变分）为：

其中$\phi$是$\rho$的变化，所以有$\phi=\delta\rho$，这在形式上类似函数$F(\rho_1,\rho_2,...,\rho_n)$的全微分：